Twierdzenie Pitagorasa: wzór, przykłady i zadania z egzaminu

Twierdzenie Pitagorasa poznajesz w klasie 7 i niemal na pewno spotkasz je na egzaminie ósmoklasisty z matematyki.

Wzór

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej:

a² + b² = c²

• a, b to przyprostokątne (boki przy kącie prostym),
• c to przeciwprostokątna (najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego).

Obliczanie przeciwprostokątnej

Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm.

c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, więc c = 10 cm.

Obliczanie przyprostokątnej

Przeciwprostokątna ma 13 cm, a jedna przyprostokątna 5 cm.

b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, więc b = 12 cm.

Trójki pitagorejskie

Warto znać zestawy liczb, które pasują do wzoru: 3, 4, 5, 5, 12, 13, 8, 15, 17, 7, 24, 25 oraz ich wielokrotności (np. 6, 8, 10).

Zastosowania

• Przekątna kwadratu o boku a: d = a√2.
• Przekątna prostokąta o bokach a i b: d² = a² + b².
• Wysokość trójkąta równobocznego o boku a: h = a√3 / 2.
• Odległość na mapie lub w kratkach: przesunięcie 3 kratki w prawo i 4 w górę to odcinek długości 5 kratek.

Zadanie w stylu egzaminu

Adam jedzie 3 km na wschód, a potem 4 km na północ. Jak daleko jest od punktu startu w linii prostej? 3² + 4² = 25, więc odległość to 5 km.

Pułapki

• Twierdzenie działa tylko w trójkącie prostokątnym.
• Przeciwprostokątna zawsze leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa: sprawdź, czy wynik ma sens.

Zadania z twierdzeniem Pitagorasa znajdziesz w arkuszach CKE z matematyki i w lekcjach OsmaTest. Więcej wzorów do zapamiętania jest we wpisie Wzory matematyczne na egzamin ósmoklasisty.